CREDO NEW теоретический журнал

Поиск по сайту

Главная
Теория объективной априорной истинности объективной формы выражения знания и ее интерпретация на...

Ю.И. Семенов,

стажер-исследователь

ТЕОРИЯ ОБЪЕКТИВНОЙ АПРИОРНОЙ ИСТИННОСТИ ОБЪЕКТИВНОЙ ФОРМЫ ВЫРАЖЕНИЯ ЗНАНИЯ И ЕЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА АРИФМЕТИКУ

(Продолжение. Начало - в "Credo", 1999, № 1)

           Отдельно следует рассмотреть исследования по философии математики С.А. Яновской, и некоторых ее наиболее известных последователей, так как ее работы принимаются большинством отечественных исследователей математического знания в качестве философско-методологической базы по данной проблематике.
           По мнению С.А. Яновской "беспредметная" аксиоматическая математика, которую имел в виду Рассел, невозможна - не только исторически, но и логически, - без предшествующей ей "предметной" генетической математики, то есть математики, которая знает, о чем она говорит, и знает, верно ли то, что она говорит. Оказалось, что в основе современной математики должна лежать арифметика натурального числа, которая знает, что такое числа, что значит сложить, умножить и т.д." Именно это заявление Яновской С.А. от лица "арифметики натурального числа" делает необходимым анализ ее работ, в которых должно быть показано, что же знает "арифметика натурального числа" о числе.
           В своем исследовании С.А. Яновская стремится показать диалектико-материалистический характер процесса образования понятий в математике и для этого берет "за образец "Капитал" К. Маркса, именно первые его главы, содержащие определение понятий стоимости и денег". В статье "О так называемых определениях через абстракцию", критикующей идеалистическое понимание числа и математики в целом, С.А. Яновская в § 1 "Число как свойство множеств вещей" пишет: "...число 5 отражает какие-то реальные свойства вещей действительного, материального, то есть независимо от нашего мышления существующего мира". Диалектико-материалистический пафос исследования числа сыграл здесь, по нашему мнению, отрицательную роль. Он задал не столько исследовательскую позицию, сколько задачу интерпретации числа по аналогии, во-первых, с теорией обмена К. Маркса, во-вторых, с гносеологией марксизма: "Для материалиста научные понятия суть копии, слепки, снимки с материальной действительности. Математические понятия, поскольку они действительно научны, должны удовлетворять тому же требованию, и мы вправе ожидать поэтому, что в основном характер математических абстракций ничем не отличается от характера абстракции, с помощью которой образуются понятия в других науках..."
           Напомним, что логическая, теоретико-множественная и т.д. экспликации чисел также являясь внешне-интерпретационными, имеют общий основной недостаток, состоящий в том, что они началу исследования понятия числа уже предпосылают само число, как уже данное, имеющееся, а затем дают его интерпретацию. В начале кажется, что С.А. Яновской удалось преодолеть этот недостаток, но внимательный анализ показывает, что это не так.
           Для установления взаимно однозначного соответствия, как пишет С.А. Яновская, "не требуется знать число вещей каждого собрания, а нужно только уметь приводить их в соответствие друг с другом. Однако установление этого соответствия дает нам возможность утверждать равночисленность двух множеств." Исследование возникновения числа, как видим, С.А. Яновская начинает с того, что находит процедуру, не только не требующую, но и даже не предполагающую, знания числа, да и самого числа, с выбором такого отправного пункта исследования нельзя не согласиться. Из этого следовало бы сделать вывод о необходимости поиска другой процедуры, генерирующей число, однако, С.А. Яновская просто вводит термин "равночисленность", тем самым неявно предпосылая своему исследованию возникновения числа наличие самого числа. По нашему мнению, установление взаимно однозначного соответствия элементов двух множеств, дает возможность утверждать только их равенство, но не их "равночисленность", как это отмечает С.А. Яновская. Равночисленность представляет собой приравнивание каждого из этих множеств в отдельности к чему-то иному, третьему, чего еще нет на стадии взаимно однозначного обмена продуктами, и что еще не известно, имеется в виду, конечно, число. Поэтому вывод о равночисленности, сделанный С.А. Яновской, является неявным введением того понятия, которое требуется обосновать. После вывода о равночисленности С.А. Яновская пишет: "Равенство двух чисел, таким образом, можно установить, не зная самих этих чисел: в самом деле, мы имеем уже возможность определить понятие равночисленность двух множеств, хотя не умеем определить характерное для них число." Однако, если нам еще неизвестны числа, то мы не можем приравнять к ним что бы то ни было. С.А. Яновская не могла говорить здесь об установлении равенств двух множеств с каким либо числом, но могла говорить об установлении равенства двух количеств на основе взаимно однозначного обмена продуктами, то есть без подсчета этих продуктов. Однако, С.А. Яновская продолжает рассуждения в русле принятого ею отождествления понятий равенства и равночисленности (надо отметить, что здесь под понятием равенства не имеется в виду понятие равномощности) и отмечает следующее: "Именно, мы будем говорить, что два множества равночисленны - когда говорят равномощны, - если их можно привести во взаимно однозначное соответствие друг с другом." На этом собственно, по нашему мнению, заканчивается исследование "логического (и исторического) возникновения" числа, о котором говорит С.А. Яновская, и начинается его теоретико-множественная интерпретация.
           Исследование "возникновения" чисел завершается С.А. Яновской следующим образом: "Но теперь мы имеем возможность определить и наше число 5. В самом деле, что общего имеют все равномощные множества? Всякий умеющий уже считать и пользующийся счетом человек, конечно скажет, что все равномощные друг другу множества характеризуются одним и тем же числом и что, наоборот, всякие два характеризующиеся одним и тем же числом множества равномощны..." К сожалению, намерение С.А. Яновской исследовать возникновение чисел свелось к их теоретико-множественной интерпретации. Счет и число, возникновение которых необходимо было исследовать, введены в рассуждение как уже данные. Поэтому С.А. Яновская дает определение числа в рамках теоретико-множественной интерпретации: "Но в таком случае число можно определить как общее свойство всех равномощных друг другу множеств."
           Такой же теоретико-множественной позиции в интерпретации чисел придерживается и Г.И. Рузавин. Он полагает, что в основе операции счета и в основе понятия числа лежит операция "сравнения элементов различных множеств". Развитие счета, по его мнению, началось с операции сравнения различных множеств предметов друг с другом без понятия о числе. Г.И. Рузавин, как и С.А. Яновская, пишет, что первоначально люди "уже могли устанавливать равночисленность одного множества другому путем сравнения их элементов." Отличие состоит только в том, что Г.И. Рузавин заменяет теоретико-множественное "установление взаимно однозначного соответствия" философским понятием "сравнение". Но от этого суть дела не меняется, так как число, по-прежнему, вводится через простое введение фразы "установление равночисленности".
           Дальнейшие рассуждения Г.И. Рузавина полностью совпадают с рассуждениями С.А. Яновской, основывающимися на аналогии с изложением К. Марксом в "Капитале" развития форм собственности: "В истории формирования понятия натурального числа можно выделить четыре больших этапа, которые соответствуют четырем последовательным этапам в развитии самой техники счета. Первый этап начинается с установления равночисленности различных множеств вещей. Здесь общее свойство эквивалентных множеств полностью ассоциируется с конкретной природой сравниваемых множеств. На втором этапе численность какого-либо определенного множества выражается через целый ряд других эквивалентных ему множеств. Здесь общее свойство всех множеств начинает уже осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества. Однако лишь на третьем этапе, когда определенное множество выступает в качестве своеобразного эталона количества, это общее свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в "чистом" виде, то есть как абстрактное понятие натурального числа." Необходимо отметить относительно приведенной цитаты то, что в предлагаемой С.А. Яновской и Г.И. Рузавиным истории и логики возникновения и развития понятия натурального числа, вся эта история и логика возникновения и развития понятия натурального числа основывается на неверном отождествлении понятий "равенства количеств" и "равночисленности". Утверждение о том, что некоторых два множества обладают одним общим свойством, а именно, свойством равночисленности, например, числу пять, возможно только при том условии, что уже известно, что такое число и, что такое число 5 (пять). Без этого условия невозможно вообще говорить о равночисленности чего-либо, тем более "двух чисел", это относится также и к ретроспективному описанию. Иначе говоря, число не возникает ни в операции установления взаимно однозначного обмена, ни в операции сравнения множеств. В этих операциях можно установить только равенство количеств, но не величину этих количеств. Задача установления величины количества предметов даже не ставится в этих операциях.
           По нашему мнению, число указывает именно на конкретную величину количества, поэтому нам представляется не верным определение числа как общего свойства равномощных множеств. Из того, что два множества могут быть равномощными, или равночисленными, действительно, следует, что некоторое конкретное число, например число пять, есть общее свойство этих равномощных множеств, но из этого не следует, что вообще число следует определять как общее свойство равномощных множеств. К тому же число является инструментом счета, а инструментом счета могут выступать только конкретные числа, так как абстрактное понятие натурального числа, по нашему мнению, не может выражать то или иное конкретное количество. Таким образом, необходимо различать конкретное число, как инструмент счета, и понятие числа. С.А. Яновская и Г.И. Рузавин в своих рассуждениях не делают этого различения. Абстрактное понятие натурального числа и число они определяют одинаково: "абстрактное понятие натурального числа" - "это общее свойство всех эквивалентных множеств"; "число" - "это общее свойство всех равномощных друг другу множеств".
           Предложенные С.А.Яновской и Г.И.Рузавиным история и логика развития "числа", или "абстрактного понятия натурального числа", оказываются после проведенного анализа весьма сомнительными в связи с тем, что эта история и логика основываются на следующих ошибках: во-первых, дается одно и то же определение числа и понятия числа; и, во-вторых, определение числа и понятия числа, как общего свойства всех эквивалентных множеств, не верно выводится из верного утверждения, что могут существовать множества, общим свойством которых является их равенство одному и тому же числу.
           Итак, конкретное число, по нашему мнению выражает не общее свойство равномощных друг другу множеств, а конкретную величину количества. Поэтому понятие числа также не может определяться как общее свойство всех эквивалентных множеств, иначе это понятие числа никакого отношения не имело бы к конкретным числам. Понятие числа может выражать только общие характеристики конкретных чисел, а общим для всех конкретных чисел является то, что они указывают на конкретные величины количеств.
           Таким образом, получается, что С.А.Яновская, Г.И.Рузавин, пытаясь дать диалектико-материалистическую трактовку числа и понятия числа, как свойства, или как отношения, не смогли выйти за пределы теоретико-множественной интерпретации числа, а соответственно, остались в рамках внешне-интерпретационного подхода, принципиально неспособного раскрыть структуру и сущность числа.
           Принципиальная неспособность внешне-интерпретационного подхода к обоснованию числа обусловлена тем, что происходит "выход" за пределы той предметной области, в которой и следует искать структуру и сущность числа. Но если даже остаться в пределах математики, то, тем не менее, это исследование невозможно осуществить средствами самой математики, так как объектом исследования здесь является сама математическая действительность. Поэтому возникает вопрос о выборе средств исследования.
           Одной из попыток внутри предметного анализа арифметического знания нематематическими средствами является семантический подход, предложенный К. Гемпелем. С точки зрения К. Гемпеля математические утверждения, такие как "2+3=5", неопровержимы. Эта неопровержимость обусловлена тем, что выражения "2+3" и "5" обозначают одно и то же число. "Они являются синонимами вследствие того факта, что символы "2", "3", "5" и "+" определены (или их значения подразумеваются) таким образом, что вышеупомянутое тождество выполняется как следствие значений, которые приписываются входящим в него понятиям." К. Гемпель сумел преодолеть внешне-интерпретационный подход к обоснованию числа тем, что он обратил внимание на наличие собственных, пред-установленных ранее, значений у математических символов. Однако, К. Гемпель не показал каким образом и где происходит это пред-установление значений математических символов, а тем самым он не показал как возникает число и что оно собой представляет или как оно дано в арифметике.
           Все внешнеинтерпретационные подходы при обосновании числа прибегают к значково-количественной интерпретации числа, используя для этого различные средства: множества, "комбинации вещей" и т.д. При этом становится неясным какая же из этих экспликаций арифметического числа должна быть принята за "истинную". Это означает, что при внешне-интерпретационном подходе за основу обоснования числа берется его количественная характеристика, но использование внешних для арифметики средств выражения количества не позволяет раскрыть собственной структуры арифметического числа. В результате раскрывается количественная характеристика числа, но не раскрывается его исторически сложившаяся собственная внутренняя структура.
           При семантическом подходе обоснования числа его количественная характеристика не получает значково-количественной выразимости в рамках арифметики, но отмечается предустановленность "числовых", я бы сказал, количественных значений арифметических символов. По моему мнению, это означает, во-первых, что утверждается необходимость сохранения арифметической природы чисел при их обосновании, а во-вторых, что обоснование арифметической природы чисел переносится из материальной сферы в идеальную сферу. В результате обоснование осуществляется в рамках арифметики, но утрачивает возможности количественно-значковой характеристики чисел.
           Анализ преимуществ и недостатков обоих подходов показывает, что семантическое обоснование числа имеет возможность выразить значение только в содержательно-идеальной форме, которая не имеет возможности количественно-значкового выражения. И, наоборот, внешне-интерпретационное обоснование числа имеет возможность количественно-значковой характеристики числа, но в этом случае эта характеристика утрачивает арифметическую принадлежность. В обоих подходах, внешне-интерпретационном и семантическом, целью обоснования является обоснование числа и сами процедуры обоснования имеют дело с математическими значками-цифрами, указывающими на числа или представляющими числа. Задача состоит в том, чтобы показать связь цифр-значков с числами, либо в том, чтобы показать, что цифры-значки являются числами.
           Необходимо найти такое решение проблемы обоснования числа, которое бы сочетало в себе одновременно преимущества внешне-интерпретационного и семантического подходов, а именно, в одном и том же обосновании числа должны выполняться два основных требования: требование арифметического статуса обоснования и требование наличия количественно-значковой характеристики числа в рамках этого же обоснования.
           Количественные интерпретации числа представляют собой фактически установление каждой конкретной цифре в соответствие конкретного количества тех или иных предметов. Так конструктивное направление в математике и в логике дает следующее внешне-интерпретационное обоснование числа: натуральное число здесь рассматривается как слово в алфавите, единственной буквой которого является значок "|". В соответствии с этим единица рассматривается как слово |, два - как слово ||, три - как слово ||| и т.д. Основателем конструктивного направления является Марков А. и его школа: Цейтин Г., Заславский И., Шанин Н.
           В рамках теоретико-множественного подхода существует несколько вариантов интерпретации числа, приведем один из них: числу 1 соответствует {{}}, числу 2 - {{},{}}, числу 3 - {{},{},{}} и т.д.
           Интерпретацию числа на арифметические объекты дал только Гильберт, указав, что числа представляют собой "комбинацию вещей", составленную из таких вещей, как "1". Однако, Гильберт не показал, что же собственно представляет собой число в арифметике. Необходимо также четко различить число и количество, так как число и количество не одно и то же. В гильбертовской интерпретации числа последнее отождествляется с количеством, когда он отмечает, что числа представляют собой "комбинацию вещей", составленную из таких вещей как "1". Именно само это отождествление является не верным. Число не есть просто то или иное конкретное количество вещей "1". В этом отождествлении гильбертовская интерпретация одинакова со всеми другими интерпретациями числа, которые дают количественную характеристику чисел теми или иными средствами, но не раскрывают самой структуры, сути числа. Тем не менее, Гильберт ближе всех подошел к раскрытию сути числа в следствии того, что он дал арифметическую количественную характеристику числа. Но он остался в рамках подхода количественной интерпретации чисел и поэтому не раскрыл самой сути и структуры числа.
           Задача внутри-арифметического обоснования числа состоит поэтому не только в количественной интерпретации чисел арифметическими средствами (т.е. "1"), но и в раскрытии сути и структуры числа. Эти структура и суть числа должны содержать в себе конкретную количественную характеристику, а также качественное отличие, поэтому само арифметическое число не сводится к простому количеству единиц "1". Число есть нечто большее, чем просто комбинация таких вещей, как "1".
           Каждое конкретное число содержит в себе "свое" конкретное количество и конкретную метку, имя этого количества, образующее качественное отличие одного конкретного количества от другого конкретного количества. Поэтому, по моему мнению, внутри-арифметическое обоснование числа должно быть осуществлено на основе выделения внутри формальной арифметической системы значковых референтно-именных конструкций (сокращенно будем называть референтно-именные конструкции термином "рикции"), являющихся структурой числа. Это означает тогда, что в арифметической формальной системе необходимо выделить такие выражения, состоящие из одних только значков, но которые, вместе с тем, являются рикциями. Именно эти рикции и представляют собой собственно числа. Такими выражениями, т.е. рикциями, по нашему мнению, являются выражения вида:
           1=1, 1+1=2, 1+1+1=3 и т.д.
           В качестве референта здесь выступают левые части от значка "=", а в качестве имени - правые части, то есть цифры "1", "2", "3" и т.д. Значок "=" выражает здесь отношение именования. Эти референтно-именные конструкции, рикции, и являются тем, что следует именовать термином "число", в данном случае - как "арифметическое число". Это означает, что арифметическое число имеет референтно-именную структуру: в конкретном арифметическом числе в качестве референта выступает конкретное количество, а в качестве имени - конкретная цифра.
           При рассмотрении арифметических формул "1+1=2", "2+3=5" и т.п., как выражений равенства, т.е. при рассмотрении их в традиционном смысле как обыкновенных арифметических формул, является очевидным, что в этих формулах не утверждается равенство количеств значков в левой и правой частях формул, не утверждается тождество значков в левой и правой частях формул, а утверждается равенство количеств, представленных в этих формулах посредством имен этих количеств. Но это было бы невозможно, если бы не существовало, или если бы не предполагалось существование или возможность существования рикций-чисел. Это означает, что арифметика имеет дело с количествами посредством чисел, иначе говоря, в арифметике складываются, вычитаются и т.п., т.е. осуществляются операции с количествами, содержащимися в числах, при помощи чисел. Числа здесь выступают не предметом, а инструментом арифметических операций. Соответственно, не верно говорить, что складываются, вычитаются, умножаются и т.д. числа, если принять во внимание, что число по своей структуре есть рикция. Высказывания о сложении, вычитании и т.д. чисел есть нечто вроде метафор, так как сложить число два и число три, при предложенном мною понимании числа, означает в точном терминологическом смысле соединение двух конкретных рикций. Но что из этого получится? - Это соединение рикций не имеет смысла. Поэтому, собственно говоря, числа не складываются, не вычитаются и т.п. Складываются, вычитаются, умножаются, делятся количества и эти операции осуществляются при помощи чисел. И затем по отношению к образующемуся в результате этих операций количеству формируется число.
           Это означает, что операции сложения, вычитания, умножения, деления количеств в рамках арифметики являются необходимыми, но не достаточными для осуществления арифметических действий. Арифметические действия осуществляются при помощи чисел-рикций и включают в себя разложение (анализ) чисел для осуществления операций с количествами и образование (синтез) чисел по отношению к полученным в результате операций с количествами другим количествам.
           Было бы терминологически более точно говорить об операциях сложения и т.п. с количествами, содержащимися в числах. Кроме того, в арифметических формулах непосредственно не содержится ни количеств, ни чисел, а только приведены имена конкретных количеств, или, иначе говоря, такие элементы чисел, как имена (напомним, при этом, что имя является структурной частью числа). Употребление вместо чисел в арифметических формулах только имен, являющихся структурными элементами числа, а в качестве имен в арифметике употребляются цифры, возможно только на основе знания чисел-рикций, т.е. знания того, что цифрой 1 именуется такое-то конкретное количество, цифрой 2 - такое-то конкретное количество и т.д. По именам на основе знания чисел-рикций происходит обращение к конкретным количествам, с которыми и осуществляются те или иные операции.
           Сущность и структура числа задается и содержится в самой арифметике в виде выражений 1=1, 1+1=2, 1+1+1=3 и т.д., которые, кроме того, что они являются обыкновенными арифметическими формулами, являются еще и рикциями. Приведенных в качестве примера двух-трех арифметических выражений достаточно для того, чтобы задать и выразить сущность и структуру числа. Таким способом можно было бы задавать все числа, но в этом нет необходимости, так как таким образом задается только сущность и структура числа. Ряд чисел с последовательным возрастанием содержащегося количества в числах можно задать, если уже до этого заданы сущность и структура числа, задавая и используя только имена конкретных количеств. Для этого достаточно задать только последовательность значков, в данном случае, цифр, полагая, что они являются структурным элементом числа - именем. При этом задается также правило построения последовательности чисел, согласно которому, в каждом последующем числе количество увеличено на то количество, которое содержится в начальном числе. Если в начальном числе количество задано в виде "1", то в следующем числе количество должно быть увеличено на "1" и т.д. Полученное новое количество именуется другой цифрой, тем самым образуется новое число. Здесь уже не важно будут ли использоваться в качестве имен все новые и новые цифры, или же будет создан некоторый упорядоченный механизм использования ограниченного набора цифр для образования имен конкретных количеств в числах.
           Предложенное обоснование числа удовлетворяет требованию внутри-арифметического и, одновременно, количественного обоснования числа, но именно как обоснование, а не интерпретация, оно, кроме того, раскрывает сущность и структуру числа, показывает, что число является инструментом, при помощи которого в арифметике осуществляются операции с количествами.
           Исходя из понимания числа, как референтно-именной конструкции, можно утверждать, что возможно существование других видов чисел, отличающихся друг от друга как в именной так и в референтной частях, имеющих, как чисто значковую природу, так и частично значковую природу. Практическая применимость арифметики, по моему мнению, основывается на том, что возможно создание чисел-рикций, в которых в качестве референта выступают предметы внешней реальности, а в качестве имени - имена арифметических чисел. Такие "эмпирические" числа создаются всякий раз при подсчете предметов внешней реальности. Исходя из этого можно также утверждать, что все "количественные внешне-интерпретационные подходы" к обоснованию числа имеют право на существование, но не как способы обоснования арифметического числа, а как способы построения других видов числа, в которых референт представлен иначе, чем в арифметическом числе, например, при помощи теоретико-множественных средств. Другой вопрос, имеют ли эти виды числа какое-либо теоретическое или практическое применение.
           Итак, если конкретное арифметическое число есть референтно-именная конструкция (в которой в качестве референта выступает конкретное количество значков-цифр 1, а в качестве имени некоторая значок-цифра), имеющая вид арифметической формулы (1=1, 1+1=2, 1+1+1=3 и т.д.), то действительно получается, что можно и не знать, что собой представляет число, т.е. не иметь знания о структуре и сущности числа, но при этом использовать числа. Такое возможно потому, что конкретное число есть конкретная рикция, знание о числе есть знание о том, что число есть конкретная рикция. Эта конкретная рикция имеет вид арифметической формулы, поэтому пользователю арифметики известны только арифметические формулы. Число имеет вид арифметической формулы, которая собственно и используется просто как арифметическая формула в арифметике. Поэтому получается, что в арифметике объективно задана структура и сущность числа, но, что собой представляет число, субъект первоначально не знает. Тем не менее, арифметика используется и без этого знания.
           Знание о числе есть знание его структуры и сущности. Это знание первоначально отсутствует, когда оно приобретается, то оно принимает вид, например, концепции референтно-именной структуры числа. Письменное изложение этой концепции есть ее объективная форма выражения. Концепция есть теоретическое знание. Но, если конкретное арифметическое число есть рикция, то получается, что первоначально отсутствует также и чувственно-эмпирическое знание числа. Формулы 1=1, 1+1=2 и т.д. чувственно воспринимаются, но они не идентифицируются как числа, не называются термином "число" и не называются как "число один" и "число два", хотя известно какое конкретное количество содержится в числе 2, 3, 4 и т.д. Каждое конкретное количество предметов может быть соотнесено с соответствующим конкретным числом. На вопрос же, что есть само по себе число, ответ оказывается дать не так легко. Получается, что, скорее всего, первоначально имеется некоторое интуитивное "смутное" представление о числе, которое приобретается субъектом из осуществляемых им практических арифметических действий, из подсчета предметов. Раскрыть структуру и сущность числа, исходя из этих интуитивных представлений невозможно. Получается, что пользователь арифметики имеет чувственно-эмпирическое знание арифметических формул, но не имеет чувственно-эмпирического знания числа, иначе он мог бы описать строение или даже структуру числа. В бесконечном ряду этих арифметических формул имеются те арифметические формулы, которые одновременно являются конкретными арифметическими числами. Простое наблюдение различных арифметических формул не дает основы для выделения среди них тех, которые одновременно являются конкретными арифметическими числами. Не смотря на то, что конкретные арифметические числа имеют место в формальной системе арифметики, пользователь арифметики их не познает. Он чувственно воспринимает эти формулы как все остальные арифметические формулы и идентифицирует, понимает их как арифметические утверждения, например, "один плюс один есть два". Это утверждение определяется как истинное, исходя из того, что известно: 1) два есть один и один; 2) один есть один. Данный пример проясняет, что арифметическое утверждение 1+1=2 оценивается как истинное, исходя из знания чисел 1 и 2, т.е. из знания количеств, содержащихся в числах 1 и 2. Числа же 1 и 2 заданы в арифметических формулах 1=1 и 1+1=2. Именно потому, что структура и сущность чисел заданы в самой арифметике, в самих арифметических формулах-числах, пользователь арифметики может производить операции подсчета, используя числа, и не зная при этом структуры и сущности числа.
           Пользователь арифметики имеет чувственное восприятие арифметических чисел, но не знает, что эти чувственно воспринимаемые им предметы есть арифметические числа, и эти чувственные восприятия пользователь арифметики выражает тем же самым предметом - той же самой арифметической формулой-числом, полагая, что эта арифметическая формула-число есть просто арифметическое утверждение. Как объективная форма выражения чувственного восприятия числа эта арифметическая формула абсолютно совпадает с самим числом. Поэтому она является объективно истинной и при этом объективная истинность устанавливается априорно, так как одна и та же арифметическая формула в одной и той же познавательной ситуации выполняет функции объекта знания и объективной формы выражения этого же знания.

 
 

CREDO - копилка

на издание журнала
ЯндексЯндекс. ДеньгиХочу такую же кнопку