CREDO NEW теоретический журнал

Поиск по сайту

Главная arrow Подшивка arrow 2003 arrow Теоретический журнал "Credo" arrow Некоторые проблемы философии математикиреферентный базис языка арифметики
Некоторые проблемы философии математикиреферентный базис языка арифметики

Ю.И.Семенов,

кандидат философских наук

Некоторые проблемы философии математики

Референтный базис языка арифметики

Контекст-принцип действителен только в развитых языках. Согласно этому принципу, наименьшей самостоятельной семантической единицей является предложение, но не слово, по отношению к которому можно говорить только о его семантической роли. Для исследования языка математики контекст-принцип означает, что, если числа соответствуют словам, то правильный ответ на вопрос «Что такое число?» можно найти только из анализа математических утверждений, в которых содержатся числа. Возникновение какого-либо языка возможно, напротив, только на основе принятия некоторой первоначальной системы конструкций «имя-предмет», которой было бы достаточно для дальнейшего развития языка и образования предложений. Именно в конструкциях «имя-предмет» устанавливаются значения слов при возникновении языка. Эти конструкции образуют референтный базис языка и являются его референтными базисными единицами. В основе этих рассуждений лежит положение, что элементами языка являются знаки, которые обладают (тем или иным образом приобретенным) значением (в общем смысле этого слова). Другими словами, под элементом языка понимается конструкция «знак-значение».

Рассмотрим теперь язык арифметики. Основными элементами арифметического языка являются натуральные числа, формальной частью которых являются знаки-цифры. Референтный базис арифметического языка образуют следующие натуральные числа: «число 0», «число 1», «число 2», «число 3», «число 4», «число 5», «число 6», «число 7», «число 8», «число 9». Названные выше числа являются референтно-именными конструкциями, в которых цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выполняют функцию имени. В современной математике эти цифры обозначают в числах конкретные количества цифр 1, которая принята в языке арифметики за объект. Из указанных частей и образуются следующие базисные референтные элементы в языке арифметики:

0

1 1

2 1 1

3 1 1 1

4 1 1 1 1

и т.д.

Эти референтно-именные конструкции приобретают в арифметическом языке следующий конкретный вид:

1=1

2=1+1

3=1+1+1

4=1+1+1+1

и т.д.

То, что цифра 1 одновременно принадлежит формальной части и объектной (или референтной) части языка арифметики, приводит к тому, что референтно-базисные числа являются одновременно формальными арифметическими утверждениями.

Онтологии математики и соответствующие числа

Онтология арифметики и натуральные числа

Конкретные количества цифр 1 являются объектами арифметического языка и объектами арифметики. Онтология арифметики есть, следовательно, учение об объектах арифметики, которые являются конкретными количествами дискретных неделимых предметов. По этой причине в рамках арифметической онтологии десятичные числа являются невозможными. Для обоснования «конечных» десятичных чисел нужна, как минимум, онтология делимых дискретных предметов.

Квантитативная онтология и квантитативные числа

В математике с онтологией делимых дискретных предметов допустимо образование натуральных и «конечных» десятичных чисел. Эти числа можно охарактеризовать тогда как квантитативные (от немецкого quantitativ – количественный) числа.

В качестве делимых дискретных предметов могут выступать такие предметы, например, как тот или иной отрезок прямой линии. Если в системе десятичных чисел тот или иной отрезок прямой линии принимается за объект в натуральном числе 1, то этот отрезок будем называть мерой, а его десятую часть – субмерой глубины первого уровня (субмерой первого порядка), его сотую часть – субмерой глубины второго уровня (субмерой второго порядка) и т.д.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать, что в квантитативных числах объектами являются конкретные количества мер и/или субмер. Конкретные количества мер и/или субмер есть тогда квантитативные объекты.

Онтология квантитативных и не-квантитативных объектов и действительные числа

Длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого принимаются равными единице, является известным примером отрезка, длина которого является несоизмеримой (как минимум, в десятичной системе чисел). Такие несоизмеримые отрезки будем называть не-квантитативными объектами. Особенность их состоит в том, что они не могут быть представлены как некоторое конкретное количество мер и/или субмер любого порядка. Однако не-квантитативные отрезки являются такими же обыкновенными величинами длины на (числовой) прямой, как и квантитативные отрезки.

Важным является вопрос о том, как определить, что такое прямая линия и чем отличаются квантитативные и не-квантитативные отрезки на прямой линии. Эти определения вошли бы тогда в онтологию (учение о) квантитативных и не-квантитативных объектов, образовываемых на прямой линии.

Прямая линия рассматривается всегда как объект, который имеет одно измерение – длину. Поэтому, если определяется, что прямая линия обладает длиной и состоит из абстрактных точек, которые не обладают никаким измерением, то возникает неразрешимая в этом случае проблема, которая состоит в том, что из абстрактных точек не может образоваться объект, обладающий длиной.

Рассмотрим два других варианта определения прямой линии.

1) Можно признать, что прямая линия, обладающая длиной, образована из идентичных точек, но тогда следует также признать, что точки обладают длиной, чтобы из них могла образоваться прямая линия. Пусть будет принято, что длина точки есть любая бесконечно малая величина, но которая не может быть приравнена к 0.

Точка, обладающая бесконечно малой величиной длины, является, тем не менее, бесконечно малым интервалом (отрезком) и является элементарным объектом прямой линии, ее элементом. Такая точка может быть принята далее за бесконечно малую субмеру, из которой тем или иным закономерным (это может быть, например, бесконечно много раз повторенное десятикратное увеличение) образом складывается мера. Тогда на прямой могут быть образованы интервалы, которые содержат некоторое количество мер/субмер, пусть даже это количество будет бесконечным. Эти интервалы следует определить как квантитативные интервалы (квантитативные объекты). Получается, что исходя из определения строения прямой линии (прямая линия образована из точек-интервалов), на ней могут образованы из ее элементов только квантитативные объекты.

Однако пример с гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами, длина которых принята за меру, показывает, что, по крайней мере, в десятичной системе мер-субмер длина этой гипотенузы оказывается не-квантитативной величиной, т.е. не соответствует никакому количеству бесконечно малых субмер, из которых, по определению, образована прямая линия.

Определение прямой линии как образованной из дискретных объектов (точек бесконечно малой длины) приводит к тому, что не-квантитативные величины длины оказываются объектами, которые не предусматриваются определением структуры прямой линии. Поэтому было бы более правильно определять прямую линию как сплошную прямую линию, которая не имеет изначального дискретного строения.

2) Можно определить, что прямая линия, обладающая длиной, образована не из абстрактных точек или точек-интервалов, а есть «самостоятельный» объект, обладающий длиной. Этот объект есть тогда сплошная линия, которая является непрерывным континуумом, обладающим одним измерением, которое называют длиной. На такой прямой могут быть отложены интервалы любой величины. Оказываются они соразмерными или не соразмерными – это зависит от последующего структурирования прямой при образовании той или иной числовой системы.

Не-квантитативные объекты входят в так называемые «бесконечные» десятичные числа, которые будем называть, соответственно, не-квантитативные числа. Формальную часть не-квантитативного числа будем называть бесконечной десятичной дробью.

Квантитативные и не-квантитативные числа вместе соответствуют множеству действительных чисел.

Системы чисел

Числа являются средствами математики и средством исследования объектов (количеств и величин) математики и их соотношений. Это утверждение внешне противоречит устоявшейся в математике терминологии. В арифметике речь идет во многих определениях о числах, например, о «натуральных числах», о «четных и нечетных числах» и т.д. Но надо видеть, что в этих (и ряде других) определениях критерии относятся к объектам, содержащимся или описывающимся в числах. Так, например, в определении понятия «четное число» критерий относится к количеству: количество является четным, если оно кратно количеству, содержащемуся в числе два. Поскольку объект (в рассматриваемом примере – количество) или его описание является составной частью числа, то эти свойства можно охарактеризовать как объектные свойства числа.

Если же речь идет, например, об особенностях десятичного или дробного представления рациональных чисел, то в этом случае говорится непосредственно о формальной составляющей числа. Если же речь заходит о том, как представлены объекты при их десятичном или дробном описании/обозначении, то при этом говорится уже о соотношении между объектной составляющей и формальной составляющей в числе. Это – уже характеристика числа в целом. Соответственно, система чисел в ее полном виде включает также формальную и объектную часть. Формальная часть системы чисел есть система обозначений-описаний объектов. В идеальном варианте эта формальная система должна быть внутренне консистентной, способной к последовательному расширению, поддаваться точному описанию, а также должна позволять описывать/обозначать все объекты математики, но не переносить свои свойства на свойства объектов. Последнее требование является, однако, не корректным по отношению к самой системе чисел. Так как система чисел объединяет в себе формальную систему и систему объектов, то свойства формальной системы (ее особенности, возможности, преимущества и недостатки) также обусловливают свойства системы чисел. Более того, формальная система может вносить свои коррективы в классификацию объектов, что необходимо также учитывать.

Если исследуются свойства объектов в математике, то необходимо стремиться четко отличать свойства объектов от свойств чисел. Но если исследуются свойства системы чисел, то необходимо учитывать свойства обеих частей системы чисел и их взаимовлияние друг на друга.

Система квантитативных чисел

Вначале рассмотрим систему квантитативных чисел. Система квантитативных чисел включает систему дискретных бесконечно делимых объектов (например, прямую линию, которая образована из бесконечно малых точек-интервалов, которые принимаются за бесконечно малые субмеры и из которых образуются объекты) и систему их обозначений-описаний.

Примем, что система квантитативных чисел имеет бесконечную длину L и глубину T.

Под длиной системы чисел будем понимать количество натуральных чисел, содержащихся в последовательности натуральных чисел, которая является частью рассматриваемой системы квантитативных чисел. Если последовательность натуральных чисел оканчивается числом, например, 35, то длина системы чисел также имеет длину 35. Бесконечная последовательность натуральных чисел означает, что система квантитативных чисел имеет бесконечную длину L=n, n→ ∞.

Под глубиной системы чисел будем понимать количество уровней субмер. Это количество уровней субмер соответствует количеству знаков после запятой в десятичной дроби. Количество знаков после запятой в десятичной дроби будем называть глубиной десятичной дроби. Все вместе это охватывается понятием «глубина числа». Исходя из этого, глубина любого натурального числа равна 0.

Бесконечная глубина системы квантитативных чисел означает, что эта система содержит бесконечное количество уровней субмер. Это означает далее, что бесконечно глубокая система квантитативных чисел содержит такие «конечные» десятичные числа, глубина которых также является бесконечной. «Конечные» десятичные числа, обладающие бесконечной глубиной, содержат десятичную дробь бесконечной глубины в качестве своей формальной составляющей.

Характеристики длины и глубины позволяют достаточно просто структурировать бесконечную систему квантитативных чисел. Рассмотрим, какая возникает при этом структурная матрица.

Характеристика длины позволяет классифицировать квантитативные числа по их длине. Речь будет идти далее только о положительных числах. Примем, что все квантитативные числа, которые больше 0 и меньше или равны 1, принадлежат области натурального числа 1; все квантитативные числа, которые больше 1 и меньше или равны 2, принадлежат области натурального числа 2; и т.д. Так выделяется n идентичных числовых подсистем, если рассматривать систему квантитативных чисел по ее длине.

Внутри каждой такой подсистемы квантитативные числа можно далее классифицировать по их глубине и распределить по уровням глубины. В результате возникает матрица распределения чисел в бесконечной системе квантитативных чисел, которая может быть описана следующей формулой:

AK = L(10T)

AK – количество чисел в бесконечной системе квантитативных чисел;

L – длина системы квантитативных чисел;

T – глубина системы квантитативных чисел.

Длина системы квантитативных чисел характеризуется последовательностью натуральных чисел. Если принять, что глубина системы квантитативных чисел тождественна ее длине, то формула приобретает следующий вид:

AK = n(10n).

Если рассматривать систему квантитативных чисел в аспекте ее глубины и длины, то эта система структурируется как квадратичная матрица.

Таблица 1

  Длина L
1 2 3 4 5 n
Глубина T 0 1 2 3 4 5  
1 0,a 1,a 2,a 3,a 4,a n,a
2 0,ba 1,ba 2,ba 3,ba 4,ba n,ba
3 0,bba 1,bba 2,bba 3,bba 4,bba n,bba
4 0,bbba 1,bbba 2,bbba 3,bbba 4,bbba n,bbba
n-1 0,b…a 1,b…a 2,b…a 3,b…a 4,b…a n,b…a

В таблице 1 переменная а может принимать значение цифр от 1 до 9 включительно, а переменная b – значение цифр от 0 до 9 включительно.

Применительно к числовой прямой, это означает, что последняя разделена на n(10n) одинаковых бесконечно малых интервалов. Обозначим такой интервал как минимальный квантитативный интервал IminK, а числовую прямую, разделенную на такие интервалы, - G(IminK).

Система действительных чисел

Система действительных чисел (в ее полном виде) может быть представлена как числовая прямая. Именно такое понимание системы действительных чисел и будет лежать в основе ее дальнейшего исследования в этой работе.

Система действительных чисел охватывает систему квантитативных и систему не-квантитативных чисел. Имеет смысл проанализировать бесконечную систему действительных чисел как систему, состоящую из двух подсистем, а именно, из бесконечной системы квантитативных чисел и из бесконечной системы не-квантитативных чисел.

Не-квантитативные числа содержат в качестве объекта не-квантитативные интервалы, которые имеют некоторую конкретную конечную длину, и в качестве формальной части – некоторую бесконечную десятичную дробь. Глубина этой бесконечной десятичной дроби тождественна глубине рассмотренной в предыдущем параграфе бесконечной системе квантитативных чисел. Следовательно, в бесконечной системе квантитативных чисел имеются «конечные» десятичные числа, глубина которых бесконечна и которые содержат в качестве формальной части десятичную дробь с бесконечной глубиной. Чтобы отличать конечное десятичное число с бесконечной глубиной от бесконечного десятичного числа с бесконечной глубиной, будем в конечном десятичном числе с бесконечной глубиной просто подчеркивать период прямой линией. В качестве примера приведем следующие «конечные» десятичные числа с бесконечной глубиной, которые имеют период:

0,125 1,08 34,5 0,01

IminK= 0,01

В конечном десятичном числе дробь с бесконечной глубиной описывает квантитативный интервал, который является объектом этого числа, и который обозначим как IKn. Однако эта же дробь с бесконечной глубиной обозначает в не-квантитативном числе не-квантитативный интервал IUn, который больше, чем IKn, но меньше, чем (IKn + IminK):

IKn < IUn < (IKn + IminK)

При рассмотрении системы действительных чисел только с ее формальной стороны возникает представление, что не-квантитативных чисел столько, сколько десятичная система обозначений допускает построить бесконечных десятичных дробей в бесконечной системе действительных чисел. Если рассмотреть систему действительных чисел, которая структурирована по длине и глубине, то становится очевидным, что не-квантитативные числа, содержащие десятичные дроби с бесконечной глубиной, соответствуют тем числам, которые находятся на «самом нижнем» уровне глубины в бесконечной системе действительных чисел. Такое понимание системы действительных чисел описывается следующей формулой:

(1) AR = AK + AU = L(10T) + L(10T - 10T-1)

AR – количество чисел в бесконечной системе действительных чисел;

AK – количество чисел в бесконечной системе квантитативных чисел;

AU – количество чисел в бесконечной системе не-квантитативных чисел;

L – длина системы действительных чисел;

T – глубина системы действительных чисел.

Однако рассмотрение бесконечной системы действительных чисел с учетом онтологического аспекта, т.е. как системы G(IminK), показывает, что в бесконечной системе действительных чисел может быть образовано больше не-квантитативных чисел, чем AU = L(10T - 10T-1). Система G(IminK) позволяет с каждым квантитативным интервалом IKn построить схему соответствующего не-квантитативного интервала IUn :

IKn < IUn < (IKn + IminK).

Это означает, что каждому квантитативному числу (независимо от его глубины) можно сопоставить как минимум один не-квантитативный интервал. Обозначение каждого не-квантитативного интервала будет тогда осуществляться при помощи формальной части сопоставленного ему квантитативного числа. Следовательно, каждому квантитативному числу будет соответствовать одно не-квантитативное число. Система действительных чисел может быть тогда описана следующей формулой:

 (2) тAR = AK + AU = L(10T) + L(10T) = 2L(10T) = 2n(10n).

Так же, как и в «конечном» десятичном числе с бесконечной глубиной, будем период в бесконечном десятичном числе просто подчеркивать, но чтобы отличать, что речь идет о бесконечном десятичном числе (т.е. о не-квантитативном числе), будем записывать их следующим образом:

0,1205’ 1,08’ 34,5’ 0,0

Минимальный не-квантитативный интервал можно обозначить как IminU. Его величина равна:

IminU = 0,0

Получаются тогда следующие соотношения между квантитативными и не-квантитативными числами:

0 < 0,0’ < 0,01 < 0,01’ < 0,02 < и т.д. < 1 < 1,0’ < 1,01 < 1,01’ < и т.д.

Если рассматривать бесконечную систему действительных чисел как состоящую из бесконечной системы квантитативных и бесконечной системы не-квантитативных чисел (обозначим такую систему как SR) и допустить вышеприведенную форму записи действительных чисел, то, возможно, что некоторые очевидные положения традиционной математики должны быть коррегированы для SR.

Согласно определению рациональных чисел, все бесконечные периодические десятичные числа являются рациональными числами и могут быть представлены как дробь двух натуральных чисел. Тогда не-квантитативные числа вида 0,0’, 0,230’, 1,0’, 26,556730’ и т.п. должны быть также рациональными числами, которые могут быть представлены как дроби двух натуральных чисел.

Если можно доказать, например, что не-квантитативное число 1,0’ является рациональным числом, то получается, что в системе SR имеются рядом лежащие рациональные числа 1 и 1,0’, а также 1,0’ и 1,01, между которыми нет других рациональных и иррациональных чисел. Если это верно для приведенного примера, то это верно и для других аналогичных пар рациональных чисел в системе SR.

Кроме того, в системе SR можно формировать квантитативные числа с учетом их бесконечной длины и глубины, например:

2; 10; 230; 101,763 и т.д.

Как при бесконечной глубине, так и при бесконечной длине действительных чисел необходимо различать величину чисел. Это различение величины чисел с бесконечной длиной и глубиной связано с различением величины бесконечной длины и глубины чисел. Примем, что бесконечная длина и бесконечная глубина действительных чисел развивается аналогично развитию последовательности натуральных чисел.

Например, возьмем два натуральных числа с бесконечной длиной 101 и 102. В этом случае, кажется, ясно, что:

102 – 101 = 1.

Если взять число 999, то оно может быть записано как 9. И если взять число 100, то оно может быть записано как 10. Чтобы точно соотносить числа с бесконечной длиной, будем обозначать бесконечную длину, которая образуется аналогично бесконечной последовательности натуральных чисел, буквой N. Бесконечное натуральное число с бесконечной длиной N можно записать тогда следующим образом:

101; 9 и т.п. или 9N; 101N и т.п.

В этом случае будет считаться, что:

101N < 9N и 9N - 101N = 898N.

Чтобы учитывать величину бесконечной длины числа, допустим, что могут быть взяты любые два числа с бесконечной длиной, которые развиваются аналогично N, но которые имеют различную величину бесконечной длины. Например, если числа 9 и 10 имеют одинаковую величину бесконечной длины, то получится:

9 – 10 = 89.

Если взять бесконечные числа, которые развиваются аналогично N, но одно из них, например, число 9, имеет величину бесконечной длины равной N, а другое - величину бесконечной длины равной N-1, которое запишем как 10N-1, то получится:

 9 - 10N-1= 989.

Точно так же можно различать величину бесконечной глубины квантитативных чисел. Например, квантитативное число с бесконечной глубиной 1,01 имеет величину бесконечной глубины равную N, а квантитативное число с бесконечной глубиной 1,01 имеет величину бесконечной глубины равную N-1, то получится:

1,01 + 1,01N-1 = 2,011.

Величины бесконечной длины и глубины системы действительных чисел

В системе действительных чисел SR развитие бесконечной глубины и бесконечной длины системы аналогично развитию бесконечной последовательности натуральных чисел N. Поэтому структура развития системы чисел SR может быть представлена как квадратичная матрица (Табл. 1). В системе SR величина бесконечной длины может быть обозначена как LN, а величина бесконечной глубины – как TN0. Если построить в этой матрице бесконечную диагональ D, то ее величина бесконечной длины также будет равна N. Это означает, что бесконечная диагональ D охватывает все уровни длины и глубины в бесконечной системе чисел SR (Табл.2) :

Таблица 2

Диагональ D Длина L
1 2 3 4 5 n
Глубина T 0 1 2 3 4 5  
1 0,a 1,a 2,a 3,a 4,a n,a
2 0,ba 1,ba 2,ba 3,ba 4,ba n,ba
3 0,bba 1,bba 2,bba 3,bba 4,bba n,bba
4 0,bbba 1,bbba 2,bbba 3,bbba 4,bbba n,bbba
n-1 0,b…a 1,b…a 2,b…a 3,b…a 4,b…a n,b…a

Величины бесконечной глубины и бесконечного количества действительных чисел в системе SR

Совершенно другая структура возникает, если рассматривать в системе SR соотношение между бесконечной глубиной и бесконечным количеством действительных чисел. Формула (2) описывает для системы SR соотношение между бесконечной длиной и бесконечной глубиной, с одной стороны, и бесконечным количеством действительных чисел, - с другой стороны. Для того, чтобы рассмотреть соотношение только между бесконечной глубиной и количеством действительных чисел, нужно ограничить систему действительных чисел одним уровнем длины. Это означает, что нужно рассматривать соотношение между бесконечной глубиной и бесконечным количеством действительных чисел в области одного любого натурального числа. Рассмотрим это соотношение в области натурального числа 1. Бесконечное количество действительных чисел в области одного любого натурального числа описывается тогда формулой:

(3) AR, L=1 = AK, L=1 + AU, L=1 = L(10T) + L(10T) = 2L(10T) = 2(10T) = 2(10N).

Эта формула показывает, что количество действительных чисел в системе SR,L=1 развивается по-другому, чем глубина системы действительных чисел SR и SR,L=1 : бесконечная глубина систем SR и SR,L=1 развивается аналогично N, а бесконечное количество действительных чисел системы SR,L=1 развивается как 2(10N).

Если структурировать систему SR,L=1 по ее глубине и количеству действительных чисел, то получится матрица, в которой величина бесконечной глубины L=N значительно меньше величины бесконечного количества действительных чисел AR,L=1=2(10N). Если в такой матрице построить диагональ D, то эта диагональ будет охватывать все уровни глубины в этой матрице и только некоторую часть действительных чисел, содержащихся в этой матрице.

Для примера можно построить не-квадратичную матрицу с бесконечной глубиной ТN+1 и бесконечной длиной LN. Обозначим каждый элемент этой матрицы так, чтобы для каждого элемента выполнялось соотношение развития бесконечной длины и бесконечной глубины матрицы:

Таблица 3

Диагональ D Длина L
1 2 n
Глубина Т 1 1/1 1/2 1/n
2 2/1 2/2 2/n
3 3/2 3/2 3/n
n n/n n/n n/n
n+1 (n+1)/n (n+1)/n (n+1)/n

В матрице с бесконечной глубиной ТN+1 и бесконечной длиной LN бесконечная диагональ D охватывает все уровни длины, но всегда остается не охваченным один уровень глубины.

Если рассмотреть систему квантитативных чисел SK,L=1 с бесконечной глубиной и длиной равной 1 и структурировать ее по ее глубине и по количеству содержащихся в ней квантитативных чисел, то также возникает не-квадратичная матрица, в которой диагональ охватывает все уровни глубины, но не все квантитативные числа, которые содержатся в этой матрице, так как величина бесконечной глубины системы чисел SK,L=1 оказывается (значительно) меньше величины бесконечного количества квантитативных чисел, содержащихся в этой системе.

Диагональный метод Г.Кантора

В своей диагональной процедуре второго вида Г.Кантор предпринимает попытку структурировать систему действительных чисел R в интервале от 0 до 1 по ее глубине и количеству действительных чисел и для этого строит бесконечную матрицу, в которой по предположению содержатся все действительные числа в интервале от 0 до 1 и в которой, по его утверждению, диагональ охватывает все содержащиеся в матрице числа (а также, следует добавить, все уровни глубины). Тем самым он принимает неявное предположение, что рассматриваемая им бесконечная матрица является квадратичной. Следствием этого предположения является положение о том, что величина бесконечной глубины действительных чисел якобы равна величине бесконечного количества действительных чисел в интервале от 0 до 1.

Кроме того, Г.Кантор принимает, что все действительные числа в матрице пронумерованы.

При помощи измененного диагонального действительного числа rd Г.Кантор далее показывает, что в рассматриваемой им матрице возможно построить как минимум одно действительное число rd, которое отличается от каждого из тех чисел, которые пересекаются измененным диагональным действительным числом rd. Исходя из этого, Г.Кантор делает вывод, что матрица содержит не все действительные числа. Это означает, что Г.Кантор полагает, что построенное измененное диагональное число опровергает его явную предпосылку, что матрица содержит все (пронумерованные) действительные числа в интервале от 0 до 1.

Однако у Г.Кантора имеется еще неявная предпосылка о том, что рассматриваемая им матрица является квадратичной, т.е. предпосылка о том, что матрица содержит столько действительных чисел, сколько их охватывается диагональю в этой матрице. Поэтому, если Г.Кантор показывает, что на основе диагонального действительного числа можно построить измененное диагональное действительное число, которое отличается от каждого из чисел, которые пересекаются этим диагональным числом, то это опровергает его неявную предпосылку, что матрица является квадратичной (т.е., что матрица содержит столько действительных чисел, сколько их охватывается диагональю в этой матрице). Следовательно, предпосылка о том, что матрица содержит все действительные числа в интервале от 0 до 1, и что эти числа являются пронумерованными (предположение Г.Кантора о пронумерованности действительных чисел в матрице не играет тогда вообще никакой роли в доказательстве), остается не опровергнутой. Тем не менее, опровергается предпосылка, что величина бесконечной глубины системы действительных чисел равна величине бесконечного количества действительных чисел в интервале от 0 до 1.

 
 

CREDO - копилка

на издание журнала
ЯндексЯндекс. ДеньгиХочу такую же кнопку